математика МПТУ

29.11.2022 група №2 факультатив

Тема уроку: Розв'язання задач з теми "Вектори і координати в просторі"

1. Повторіть теорію і запишіть задачі

ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ У ПРОСТОРІ

Декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей (вісь ОХ— вісь абсцис, ОУ — вісь ординат, OZ— вісь аплікат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.

Кожній точці простору за певним правилом ставиться у відповідність трійка чисел — абсциса, ордината та апліката (х; у, z), які називаються декартовими координатами точки. Ці координат визначаються в такий спосіб: через точку А проводимо три площини, паралельні координатним площинам YOZ;XOZ;XOУ. Із координатними осями ОХ, ОУ і OZплощини перетнуться в точках x_A,y_A, z_A. Число х, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка ОХA, називається абсцисою точки А. Це число буде додатним, якщо х належить додатній пів осі ОХ, і від’ємним, якщо лежить на від’ємній півосі.

Аналогічно визначаються ордината у та апліката z точки А.

Декартові координати в просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А (х; у; z). причому першою завжди стоїть абсциса, другою — ордината, третьою — апліката

Для точок площини ХОУ апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ — ордината у дорівнює нулю, для точок площини YOZ — абсциса х дорівнює нулю.

На рис. 1 точка А має координат 2; 3; 3, що записується так: А (2; 3; 3).

Будь-якій трійці чисел х, y, z відповідає лише одна точка простору А (х, у, z).

Рис. 1

Приклад 1. Задано точки A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(1; 0; 0), D(1; 0; 2). Які із цих точок лежать: 1) у площині XOZ: 2) на осі ОХ; 3) у площині УOZ?.

Розв'язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата y дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1; 0; 0), D (1; 0; 2).

2. Якщо точка лежить на осі ОХ. то координат у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка 0(1; 0; 0).

3. У площині УOZ лежить точка 5(0; 1; 2).

Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) 5.

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

Відстань між двома точками в просторі

d = .

де d — відстань (рис. 2) між точкою А₁, із координатами (х₁; у₁; z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂; у₂; z₂).

Рис. 2

Приклад 2. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С (3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника AВС.

Розв’язання

Оскільки АВ = = , AC = = , BC = = .

то Р_∆АВС = АВ +ВС +АС = 3 .

Відповідь: 3 .

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини підрізка в просторі

Координати (х_С; у_С; z_С.) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

x_C = ; x_C = ; x_C = .

де (x₁; y₁; z₁) і (x₂; у₂; z₂) — координати точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка (рис. 3).

Рис. 3

Приклад 3. Знайдіть координати точки С — середини відрізка АВ, якщо А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1).

Розв’язання

Оскільки А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1) і АС = СВ, то

x_C = = = -1; y_C = = = 2; z_C = = = 2;

Отже, С (-1; 2; 2).

Відповідь: С (-1; 2; 2).

Рівняння сфери

Якщо в просторі задано деяку точку з координатами С (а; b; с), що є центром сфери, а також радіус R (рис. 4), то рівняння сфери має вигляд

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

Якщо центром сфери є початок координат (рис. 5), то маємо

x² + y² + z² = R²

Рис. 4

Приклад 4. Складіть рівняння сфери з центром у точці В (1; 1; 3), якщо відомо, що сфера проходить через точку М (2; 0; -1).

Розв’язання

Знайдемо радіус R сфери

R = BM = = .

Рис. 5

Ураховуючи, що центр сфери міститься в точці В(1; 1; 3), а радіус R сфери дорівнює , матимемо рівняння сфери (х - 1 )² + (у - 1 )² + (z - 3)² =18.

Відповідь: (x - 1 )² + (x - 1 )² + (x - 3)² = 18.

Перетворення фігур у просторі

Симетрія (рис. 6)

Точки\ Симетрія відносно	А (1; 1; 1)	А(x; у; z)
точки О	А₁ (-1;-1;-1)	А₁ (-х; -у; -z)
осі х	А₂ (1;-1;-1)	A₂ (х; -у; -z)
осі у	А₃ (-1; 1; -1)	А₃ (-х; у; -z)
осі z	A₄ (-1; -1; 1)	A₄ (-х; -у; z)
площини ху	A₅ (1; 1; -1)	A₅ (x; y;-z)
плошини xz	A₆ (1; -1; 1)	A₆ (x;-y; z)
площини yz	A₇ (-1; 1; 1)	A₇ (-x; y; z)

Паралельне перенесения

Гомотетія відносно точки О

Рис. 6

ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Якщо початком вектора є точка А(х_A; у_А; z_A), а кінцем — точка В(х_B; у_B; z_B), то (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)(рис. 1).

Рис. 1

Довжина вектора в просторі

Якщо є вектор (_а1; а₂; а₃), то || = + , де || — модуль вектора, a₁, а₂, а₃ — його координати.

Одиничним називається вектор , у якого || = 1.

Нульовим називається вектор (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів i , якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язання

(- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) = (-6; -5; 6);

(3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) = (1; 4; - 1).

||= = ; = = = 3.

Відповідь: = (-6;-5;6), = (1;4;-1), = ; = 3.

Рівність векторів у просторі

Якщо (а₁;а₂;а₃) = (b₁;b₂;b₃), то

Якщo то (a₁; а₂; а₃) = (b₁;b₂;b₃).

Протилежні вектори в просторі

Якщо маємо (a₁; a₂; а₃), (b₁;b₂;b₃) i = -, то

Якщо маємо (а₁;а₂;а₃), (b₁;b₂;b₃) і то = -

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO₁), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB₁), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

(а₁; а_2;a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (а₁ + b₁; а₂ + b₂; a₃ + b₃).

Різниця векторів у просторі (а₁; а₂; а₃) - (b₁; b₂; b₃) = (а₁ - b₁; а₂- b₂; a₃ - b₃).

Множення вектори чи число в просторі

∙ (а₁; а₂; а₃) = (а₁; а₂; а₃).

Задача 2. Задано вектори (3; -2; -1); (1; 1; 2); (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів = + , = - , = 2 + 3 - .

Розв’язання

= + = = ; = = = = ;

= 2 + 3 - = 2 ∙ + 3 - =

= .

Відповідь: = ; = ; =

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори (а₁; a₂; а₃), (b₁, b₂; b₃) і вони колінеарні, то = =

Якщо є вектори (а₁; а₂; а₃), (b₁; b₂; b₃) і = = , то і — колінеарні вектори.

Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори (3; m; 5) і (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси = = .

Маємо два рівняння:

1) = , тоді m = = 1;

2) = , тоді n = = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори (a₁; а₂; a₃), (b₁; b₂; b₃), то ∙ = a₁b₁+ a₂b₂ + a₃b₃.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже, ∙ = || ∙ || ∙ cos.

Задача 4. Знайдіть кут між векторами (1; 2; - 3) і (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos = = ∙ = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||= = ,

тоді cos = = = = .

Звідси = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 5. При якому значенні р вектори (3; р: -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

∙ = 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5, ∙ = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

Розглянемо розв’язання деяких задач.

Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки (- 6; 14; 2), (- 2; - 6; 0), то = + , (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис. 5

Тоді || = = = 2.

Відповідь: 2.

Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту між векторами та (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М: