15.11.2022   група  №4    геометрія

Тема уроку: Перерізи многогранників

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=2rmqt6s86gA

2. Законспектуйте і вивчіть

ПОНЯТТЯ ПЕРЕРІЗУ МНОГОГРАННИКА.

При розв’язанні деяких геометричних задач, пов’язаних із многогранниками, корисно вміти будувати на малюнку перерізи многогранника різними площинами.

Будемо називати січною площиною многогранника будь-яку площину, по обидві сторони від якої є точки даного многогранника. Січна площина перетинає грані многогранника по відрізках. Многогранник, сторонами якого є ці відрізки, і називають перерізом многогранника.

 малюнку 447 чотирикутник КLМN є перерізом трикутної піраміди QАВС.

Зауважимо, що в задачах січну площину задають одним із знайомих нам способів:

1) трьома точками, що не лежать на одній прямій, або

2) прямою і точкою, що не лежить на ній, або 

3) двома прямими, що перетинаються, або

4) двома паралельними прямими.

Для побудови перерізу достатньо побудувати точки перетину січної площини із ребрами многогранника, після чого провести відрізки, що з’єднують кожні дві побудовані точки, що належать одній і тій самій грані.

Перерізи призми

Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА ₁С ₁С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА ₁. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см,  A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС ₁А₁ - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC ₁ = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:  

4) Тоді 

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С ₁ - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС ₁.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника: 

4) Оскільки CM  AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ  АВ.

Тоді  КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою  КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС ₁, то СС ₁ = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).

Перерізи піраміди.

Розглянемо найпростіший переріз піраміди.

Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 468: QВD - діагональний переріз чотирикутної піраміди QАВСD.

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3  см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому  АМС =  BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN  АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою  MNC = 30°.

3. Розв'яжіть задачі

1. У трикутній піраміді SАВС провести переріз:

А) через середину ребра АС паралельно грані SСВ;

Б) через середину ребра SС паралельно грані SАВ.

Рис. 79

2. Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р (рис. 79).

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, де точка К – середина А1В1. З’ясуйте, яка фігура утвориться в перерізі. (Відповідь, а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник.)

4. Точка Х ділить ребро АВ куба ABCDA1B1С1D1 у відношенні АХ : ХВ = 2 : 3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка па­ралельна площині АА1С1 і проходить через точку X. Знайдіть пери­метр перерізу, якщо АВ = а. (Відповідь. .)

5. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е і паралельна площині MNP (рис. 80).

Рис. 80