14.11.2022  група   №14 геометрія     (повторення)

Тема уроку:  Прямі та площини у просторі

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=es9OZovJBf8

2. Законспектуйте і вивчіть

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

Паралельність прямої і площини

Дві прямі у просторі називають паралельними. якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. На рис. 10 а та b паралельні. Паралельність прямих а та b позначається так: а||b.

Рис. 10

Теорема про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій

Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

Отака паралельності прямих

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні, якщо а || b, а || с, то b || с.

Дві прямі мали Всіють мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. На рис. 11 прямі а і b мимобіжні.

Рис. 11

Отака мимобіжності прямих

Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. На рис. 12 пряма а та площина а паралельні. Паралельність прямої а та площини а позначається так: а||а.

Рис. 12

Отака паралельності прямої та площини

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || b, b  а, то а||а (рис. 12).

Паралельні площини і площини, що перетинаються

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

На рис. 13 площини а та р паралельні. Паралельність площин а і  позначається так: а || .

Рис. 13

Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні. Якщо a || a₁, b || b₁ a  b, a  a, b  a, a1  , b₁ , TO a ||  (рис. 13).

Рис.14

Існування єдиної площини, паралельної даній площині Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. На рис. 14 а||, у перегинає а по прямій а, у перегинає р но прямій b, тоді а || b.

2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні. На рис. 15. a||p. AB||CD, А ∈ а, С ∈ а, В ∈  D ∈ . отже, АВ = CD.

Рис. 15

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині.

Перпендикулярність прямої а та площини а позначається так: а ⊥ а. На рис. З зображено пряму а, перпендикулярну до площини а.

Рис. !

Рис. 2

Рис. 3

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. Якщо a ⊥ a та b ⊥ a, то а || b (рис. 4).

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо a ⊥ a та а || b, то b ⊥ а (рис. 4).

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо а || , та a ⊥ a, то a ⊥  (рис. 5).

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні. Якщо a ⊥ а, та а ⊥ , то a ||  (рис. 5). Перпендикулярам, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

На рис. 6 АВ — перпендикуляр до площини а, АС — похила до площини а, ВС — проекція похилої АС на площину а, В — основа перпендикуляра С — основа похилої.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

На рис. 7 зображено: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ⊥ с, то А В ⊥ с, і навпаки: якщо с ⊥ AB, то ОВ ⊥ C. Зазначимо, що пряма с на рис. 7 може і не перетинатися з похилою АВ.

Рис. 7

Перпендикулярність двох площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина яка перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 12 а ⊥ , бо у ⊥ с, а ⊥ b.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Якщо b ⊥ а і  проходить через b, то  ⊥ а (рис. 13).

Властивості перпендикулярних площин

1. Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Якщо a ⊥ , у ⊥ с, то а ⊥ b (рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Якщо  ⊥ а, b ⊥ а, то b ⊥ а (див. рис. 13).

3. Розв'яжіть задачі

1. Точки А, В, С, D не лежал, в одній площині. По якій прямій перетинаються площини ABC і ABD?

2. Точки К, L, М, N — відповідно середини ребер SA, АС, ВС, BS правильного тетраедра SABC. Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо ребро тетраедра дорівнює 10 см.

3. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають, площину а в точках М і N відповідно. Знайдіть, довжину відрізка CN, якщо АС: ВС = m : n, ВМ = а.

4. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка А. яка лежить в одній площині, знаходиться від другої площині на відстані а. Знайдіть відстань від точки А до прямої перегину цих площин.

5. Із точки А до площини а проведені дві похилі АК та AN, які утворюють із площиною а кути 45° та 60° відповідно. Знайдіть довжини похилих, якщо відстань від точки А до площини а дорівнює .