04.11.2022   група  №14   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Ірраціональні вирази

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=xIofdw2h1jQ

2. Законспектуйте в зошит і вивчіть

Рівняння називають ірраціональними, якщо воно містить невідомі під знаком кореня.

Розглянемо деякі види ірраціональних рівнянь та методи їх розв’язування.

1. Рівняння  = a , a - число.

Схему розв’язування рівняння  = a, де а — число, п ≥ 2 — натуральне число подано у вигляді таблиці.

 = a, а - число, n ≥ 2 - натуральне число

n - парне		n - непарне
а ≥ 0	а < 0	f(x) = аn
f(x) = аn	рівняння не має розв’язків

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

3) рівняння не має розв’язків;

Схему розв’язання рівняння  =  , n ≥ 2 - натуральне число, подамо у вигляді таблиці.

 =  , n ≥ 2 - натуральне число

n - парне	n - непарне
	f(x) = g(x)

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Маємо 4х - 2 = 5х + 7; х = -9;

2) Рівняння рівносильне системі:

З першого рівняння маємо х ₁ = -1; х₂ = 2. Але умову х ≥ ½ задовольняє лише другий корінь. Отже, х = 2 - єдиний корінь рівняння.

Подамо у вигляді таблиці схему розв’язання рівняння  = g(x), де n ≥ 2 - натуральне число.

 =  , n ≥ 2 - натуральне число

n - парне	n - непарне
	f(х) = [g(х)]п

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Піднесемо ліву і праву частини рівняння до третього степеня 

2) Рівняння рівносильне системі

Рівняння х² - 9х + 18 = 0 має корені х ₁ = 3; х₂ = 6. Але умову х ≤ 4 задовольняє лише перший з них. Отже, х = 3 - єдиний корінь рівняння.

Алгебраїчні вирази, що містять дію зведення невідомого у нецілий степінь називаються ірраціональними.

Визначення виду виразу відбувається за зовнішнім виглядом: 

Приклад:

2a3−−−√4;12xy3−−−−−√5;3a−b2−−−−−−√3.

При перетворенні ірраціональних виразів дотримуються строгого порядку дій і використовують теореми арифметичного кореня.

Зверни увагу!

Якщо корні парного степеня, то їх розглядають як арифметичні, а якщо степінь кореня не парна, то за значення кореня з дійсного числа приймається його єдине дійсне значення. 

Основні операції при перетворенні ірраціональних виразів: 

Додавання та віднімання. При додаванні або відніманні ірраціональних виразів їх пишуть одне за іншим зі збереженням їх знаків. Якщо ірраціональні вирази мають однакові показники коренів і підкореневі вирази, то вирази розглядають як подібні. 

Приклад:

72ab−−−√5−22ab−−−√5+92ab−−−√5=142ab−−−√5.

Множення та ділення. При множенні (діленні) ірраціональних виразів з однаковими показниками коренів перемножуються (діляться) їх підкореневі вирази.

 

Приклад:

a2−3−−−−−√4⋅a2+3−−−−−√4=(a2−3)⋅(a2+3)−−−−−−−−−−−−−−−√4=a4−9−−−−−√4.

Піднесення кореня до степеня. Щоб піднести до степеня ірраціональний вираз, слід піднести до степеня його підкореневий вираз.

Приклад:

((x+7)3−−−−−−−√6)2=(x+7)3⋅2−−−−−−−−√6=(x+7)6−−−−−−−√6=|x+7|.

Винесення множника з під знака кореня. Для винесення множника з під знаку кореня необхідно представити підкореневий вираз у вигляді декількох множників, так, щоб один з них можна було винести з під кореня.

Приклад:

=2x4⋅(x+3)⋅5⋅(x+3)2−−−−−−−−−√3.

Скорочення степеня кореня. Величина ірраціонального виразу не зміниться, якщо показник кореня і підкореневого виражу помножити або розділити на одне й те саме число. На основі цієї властивості виконують зведення коренів до спільного показника.

Приклад:

(8b+1)8−−−−−−−√12=(8b+1)8:4−−−−−−−−−√12:4=(8b+1)2−−−−−−−√3;5b−−√5⋅6b−−√10=(5b)2−−−−√2⋅5⋅6b−−√10=25⋅b2−−−−−√10⋅6b−−√10=25⋅b2⋅6b−−−−−−−−√10=150⋅b3−−−−−−√10.

Зверни увагу!

При виконанні дій з ірраціональними виразами з різними показниками їх приводять до загального показника, а потім вже виконують дії.

3. Виконайте вправи

1. Обчисліть значення виразу:

а) ; б) ; в) 

2. Знайдіть значення виразу:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. При якому значенні х правильна рівність:

а)  ; б) ; в) ?

4.  Скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) .