18.11.2022   група  № 7    алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Правила диференціювання

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=e2t5RJju6XE

2. Законспектуйте і вивчіть

Знаходження числового значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

Звернемо увагу на те, що похідна функції - це також функція, а похідна функції в точці - це число. Для знаходження похідної функції в точці х₀, достатньо у похідну функції підставити точку х₀ і виконати обчислення.

Приклад 1. Дано функцію f(х) = х² + 5. Знайти f '(-2).

Розв’язання.  Тоді 

Приклад 2. Дано функцію g(x) = sin х + cos х. Порівняйте g'(0) і g'(π/2).

Розв’язання, Маємо 

Тоді  Тому 

Приклад 3. Знайдіть похідну функції  у точці -1.

Розв’язання.

Тоді 

Похідна складної функції.

Приклад 1. Нехай необхідно обчислити значення функції  у точці х = 4. Природно це роблять наступним чином:

1) спочатку обчислюють значення виразу 2х + 1, якщо х = 4, а саме 2 ∙ 4 + 1 = 9;

2) потім з отриманого числа 9 здобувають арифметичний квадратний корінь, маємо = 3. Отже, f(9) = 3.

Якщо позначити u(х) = 2х + 1, а g(u) = , то можна записати f(х) = g(u(x)).

Кажуть, що f(x) є складеною функцією, u(х) - внутрішня функція f (або проміжний аргумент).

Далі подамо правила обчислення похідної складеної функції.

Якщо функція u(х) має похідну в точці х, а функція f(u) має похідну в точці u = u(х), то складена функція у = f(u(x)) має похідну в точці х, причому

Приклад 2. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Маємо складену функцію 

Тоді

Приклад 3. Знайдіть у' = π/4, якщо у = sin² x.

Розв’язання. у = sin² х, тобто у = u² , де u = sin x. Тоді 

Маємо 

Приклад 4. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Знайдемо спочатку похідні функції  i 

Тоді 

Тоді

Отже, 

3. Розв'яжіть тестові завдання в зошиті

Запитання 1

Знайдіть похідну функції у=х3-х2+х-4

варіанти відповідей

 

3х2-2х+1

 

 

3х-2х+1

 

 

3х2-2х+1-4

 

 

х2-х+1

Запитання 2

Знайдіть похідну функції у=5х2+6х

варіанти відповідей

 

5х+6

 

 

10х+6

 

 

10х+6х

 

 

10х

Запитання 3

Знайдіть похідну функції у=cosx+sinx+5

варіанти відповідей

 

cosx-sinx

 

 

sinx-cosx

 

 

cosx-sinx+5

 

 

cosx+sinx+5

Запитання 4

Знайдіть похідну функції у=x⋅sinx

варіанти відповідей

 

sinx+xcosx

 

 

sinx-xcosx

 

 

xsinx+xcosx

 

 

sinx

Запитання 5

Знайдіть похідну функції у=x2⋅cosx

варіанти відповідей

 

2xcosx-x2sinx

 

 

2xsinx-x2cosx

 

 

-2xsinx

 

 

2xsinx

Запитання 6

Знайдіть похідну функції у=x3 / (x2+1)

варіанти відповідей

 

(x4+3x2)/(x2+1)2

 

 

(x+3x)/(x+1)2

 

 

(x4+3x2)/(x2+1)

 

 

(x4+3x2)/(x2-1)2

Запитання 7

Знайдіть похідну функції у=x3 / sinx

варіанти відповідей

 

(3x2sinx-x3cosx)/sin2x

 

 

(3x2sinx-x3cosx)/sinx

 

 

(3xsinx-x3cosx)/sin2x

 

 

(3x2sinx+x3cosx)/sin2x

Запитання 8

Знайдіть похідну функції у=5 / √x

варіанти відповідей

 

-5/(2x√x)

 

 

5/(2x√x)

 

 

-5/(x√x)

 

 

-5/√x

Запитання 9

Знайдіть значення похідної функції у= sinx+cosx. у точці х0=0

варіанти відповідей

 

0

 

 

1

 

 

-1

Запитання 10

Знайдіть значення похідної функції у= 2/(x-1) у точці х0= -1

варіанти відповідей

 

0.5

 

 

-0.5

 

 

1

 

 

-1