17.11.2022  група  № 7   факультатив

 Тема уроку:  Означення та властивості векторів та дій з ними

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=jCH5RCyGNGg

2. Законспектуйте і вивчіть

Поняття вектора.

Відрізок, для якого визначено напрям називають вектором (мал. 300). Вектор зручно зображувати відрізком із стрілкою, що показує напрям векторів. На малюнку 300 точку А називають початком вектора, точку В - кінцем вектора. Вектори позначають двома великими латинськими літерами із стрілкою над ними. Вектор, зображений на малюнку 300, записують так:. Перша буква позначає початок вектора, а друга - кінець.

Інколи вектори позначають однією малою латинською буквою. На малюнку 301 вектори і.

Вектор, у якого початок збігається з кінцем, називають нульовим вектором. На малюнку такий вектор зображують точкою. Якщо, наприклад, точку, що зображує нульовий вектор, позначити буквою С, то даний нульовий вектор можна позначити (мал. 301). Нульовий вектор позначають також символом. Напрям нульовий вектор не має.

Довжиною (або модулем, або абсолютною величиною) вектора називають довжину відрізка АВ.

Модуль вектора позначають так: ||, модуль вектора позначають так: l  l. Довжина нульового вектора дорівнює нулю: || = 0.

Приклад. Знайдіть модулі векторів, зображених на малюнку 302, якщо сторони клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

Розв’язання. 

Колініарні вектори. Рівні вектори.

Колініарними називають два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Наприклад, на малюнку 303 колініарними пари векторів і, і, і тощо. Колініарні вектори можуть бути співнапрямленими, тобто однаково напрямленими (вектори і на малюнку 303), або протилежно напрямленими (вектори і на малюнку 303). Записують це так: ↑↑ , ↑↓ .

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і їх довжини рівні.

На малюнку 304 вектори і рівні. Це записують так =.

Приклад. АВСD - ромб (мал. 305). Чи рівні вектори: 1) і; 2) і; 3) і; 4) і?

Розв’язання. 

1) Так, оскільки 

2) Оскільки і не є співнапрямленими, то вони не є рівними.

3) і також не рівні між собою, оскільки не співнапрямлені.

 тому вектори і не рівні між собою.

Додавання і віднімання векторів.

При додаванні векторів і, можна використовувати правило трикутника або правило паралелограма.

За правилом трикутника:

1) від кінця вектора, відкладаємо вектор', що дорівнює вектору;

2) вектор, початок якого збігається з початком вектора, а кінець з кінцем вектора', є сумою векторів і.

Зауважимо, що з малюнка 306 слідує, що + =. Дану векторну рівність можна використовувати при спрощені виразів із векторами.

Приклад 1. Знайдіть суму векторів + + .

Розв’язання. 

За правилом паралелограма (мал. 307):

1) відкладаємо вектори і від спільного початку (точки К);

2) будуємо на даних векторах паралелограм;

3) вектор, що зображується діагоналлю паралелограма, яка виходить з точки К, є сумою векторів і.

Правило побудови різних двох векторів і (мал. 308):

1) відкладаємо від однієї точки вектор', що дорівнює вектору і вектор', що дорівнює вектору;

2) вектор, початок якого збігається з кінцем вектора', а кінець — з кінцем вектора', є різницею векторів  і.

Приклад 2. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О (мал. 309),  =; =  . Виразіть вектори і через вектори i  .

Розв’язання. 

Множення вектора на число.

Нехай задано вектор. Необхідно побудувати вектор λ , де λ ≠ 0 - число.

Модуль вектора λ  дорівнює |λ|l |. Вектор λ  співнапрямлений з вектором, якщо λ > 0, і протилежно напрямлений з вектором, якщо λ < 0.

На малюнку 310 задано вектор та побудовані вектори 2, 1/2 , -, -3.

Приклад. М і N - середини сторін АВ і ВС трапеції АВСD (мал. 311); =, =. Виразіть вектор    через вектори і.

Розв’язання. 1) В ∆АСD: 

2) МN - середня лінія ∆АВС, тому 

Координати вектора.

Координатами вектора з початком А(х ₁; у ₁) і кінцем В(х₂; у₂) називають числа х = х₂ – х ₁ і у = у₂ – у ₁.

Записують вектор, вказуючи його координати так: (х; у). Наприклад, (3;-2), (-2;0).

Приклад 1. Знайдіть координати вектора, якщо А(-4; 1), В(2; -5).

Розв’язання. 

Модуль вектора (х;у) дорівнює. Отже, 

lАВl =.

Приклад 2. Знайдіть модуль вектора: 1)(-3; 4); 2)(2; -1).

Розв’язання.

Приклад 3. Модуль вектора(х;-8) дорівнює 10. Знайдіть х.

Розв’язання. 

За умовою 

Рівні вектори мають відповідно рівні координати. І навпаки: якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

Приклад 4. Дано точки А(-2; 3), В(4; -1), С(х; -2), D(0; у). Знайдіть х і у, якщо =.

Розв’язання.     = (4 - (- 2);- 1(- 3)), тобто АВ = (6; - 4);

 = (0 - х; у - (- 2)), тобто = (- х; у + 2). Оскільки =, то -х = 6 і у + 2 = -4. Звідки х = -6; у = -6.

 Сума та різниця векторів, що задані координати.

Сумою векторів (x ₁;у ₁) і (х2;y ₂) є вектор(х₁ + х2;у1 + у₂).

Наприклад сумою векторів(-2;3) і(9; -і) є вектор(-2 + 9; 3 + (-1)), тобто(7; 2).

Для суми векторів справджується:

переставна властивість додавання: 

сполучна властивість додавання: 

Різницею векторів  є вектор 

Наприклад різницею векторів  є вектор  тобто (-5;4).

Приклад 1. Дано точки А(-2; 6) і В(0; 2). Знайдіть координати точки С такої, що + = 0.

Розв’язання. Нехай координати точки С(х; у). Тоді (х + 2; у - 6); (х;у- 2), а + має координати (х + 2 + х; у - 6 + у - 2), тобто (2х + 2; 2 у - 8). За умовою+= 0. Тому 2х + 2 = 0 і 2у - 8 = 0; х = -1; у = 4.

Приклад 2. При якому значення х модуль вектора + -  найменший, якщо(-1;3),(х; 4),(2;3).

Розв’язання. Нехай = + -. Тоді d( - 1 + х - 2;3 + 4 - 3), тобто (х - 3; 4). 

Маємо  Модуль вектора буде найменшим, коли вираз (х - 3)² прийме найменше значення. Це значення дорівнює 0 і досягається, якщо х = 3.

Множення вектора, що задано координатами, на число. Умова колініарності векторів.

Добутком (х;у) на число λ(λ ≠ 0) є вектор λ  (λх; λу).

Наприклад, добуток вектора (- 2; 3) на число 4 є вектор 4 (- 8; 12) , на число -1 — вектор - (2;-3), на число -3 — вектор -3  (6;-9).

Для добутку вектора на число справджується властивості:

Для будь-якого вектора і чисел α і β виконується

Для будь-яких векторів і і числа α виконується

Приклад 1. Дано вектори (1; - 4) і ( -2; 3) . Знайдіть координати вектора: 

Розв’язання. Запис розв’язання зручно вести так:

Вектор, колініарний вектору, можна подати у вигляді = λ , λ ≠ 0 і навпаки, якщо = λ , то вектори і — колініарні.

З цього можна отримати умову колініарності векторів, що задані координатами.

Нехай задано вектори(х ₁; у ₁) і(х₂; у₂), якщо 

1) х ₁ = х₂ = 0, то вектори(0; у ₁) і(0; у₂) — колініарні, причому, якщо y ₂/y ₁ > 0, то ↑↑ ; а якщо y ₂/y ₁< 0, то ↑↓ .

2) y ₁ = y ₂ = 0, то вектори(х ₁; 0) і(х₂; 0) - колініарні, причому, якщо x ₂/x ₁ > 0, то ↑↑ , а якщо x ₂/x ₁ < 0, то ↑↓ .

3) х₁ ≠ 0, х₂ ≠ 0, y ₁ ≠ 0, y ₂ ≠ 0, то вектори і колініарні, якщо x ₂/x ₁ = y ₂/y ₁ = λ, причому, якщо λ > 0, то ↑↑ ; а якщо λ < 0, то ↑↓ .

Приклад 2. При якому значення у вектори (2;-7) і (- 6; у) колініарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Розв’язання. Маємо  Оскільки  то ↑↓ .

Розкладання вектора за двома колініарними векторами.

Нехай і відмінні від нуля неколініарні вектори. Тоді будь-який вектор  можна подати у вигляді  де λ і β - деякі числа.

В цьому випадку кажуть, що вектор розклали за вектором і.

Приклад. Розкласти вектор(-7;-10) за векторами (-2;1) і(1; 4).

Розв’язання. Знайдемо числа λ і β в формулі 

Оскільки( -7; -10), то маємо систему  Звідки, λ = 2; β = -3. Отже,= 2 - 3  - розклад вектора за векторами і.

Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком векторів (х ₁; у ₁) і(х₂; у₂) називають число x ₁x ₂ + y ₁y ₂.

Позначають скалярний добуток векторів так само, як добуток чисел ∙ .

Приклад 1. Знайдіть скалярний добуток векторів(-2; 7) і(1; -2).

Розв’язання. ∙  = -2 ∙ 1 + 7 ∙ (- 2) = -16.

Властивості скалярного добутку векторів.

Для будь-яких векторів,, та чисел λ, виконується рівність:

Скалярний добуток векторів можна знайти і по-іншому.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними,

тобто  де φ — кут між векторами і.

Приклад 2. Знайдіть скалярний добуток ∙ , якщо || = 2; || = 3 і кут між векторами і дорівнює: 1) 30°; 2) 120°.

Розв’язання.

Формула для знаходження кута між векторами, що задані координатами.

Скалярний добуток векторів дає змогу знайти косинус кута між векторами (х ₁; у ₁) і(х₂; у₂) . Оскільки  де φ — кут між векторами і , то

Оскільки  то маємо

- формулу для знаходження косинуса кута між векторами, що задано координатами.

Знаючи, косинус кута між векторами, можна знайти цей кут (за таблицями або за допомогою калькулятора).

Приклад. Знайдіть градусну міру кута С трикутника АВС, якщо А(4; 6), В(4; 8), С(2; 6).

Розв’язання. Кут С трикутника АВС збігається з кутом між векторами i . Маємо: (4 - 2; 6 - б), тобто (2;0);(4 - 2;8 - б), тобто(2;2). Тоді

 звідки  C = 45°.

Умова перпендикулярності векторів, що задані координатами.

Оскільки  , де φ — кут між векторами і, то

вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Маємо умову перпендикулярності векторів, що задані координатами.

Приклад. При якому значенні х вектори (x;-2) і(4;10) перпендикулярні?

Розв’язання, ∙  = 4х - 20. Вектори перпендикулярні, якщо ∙  = 0, тобто 4х - 20 = 0. Звідки, х = 5.

Скалярний квадрат вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату модуля цього вектора:  ² = ||².

З останньої рівності випливає, що || =.

Розглянемо використання скалярного квадрата при розв’язуванні задач.

Приклад. Дано вектори і, || = 2; || = 3, кут φ між векторами і дорівнює 120°. Знайдіть l2 - 3 l.

Розв’язання. Оскільки || =, то