математика МПТУ

16.11.2022 група № 2 алгебра і початки аналізу (повторення)

Тема уроку: Основні властивості функції

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=4zZPWSy9lYY

2. Законспектуйте і вивчіть

Нулі функції.

Нуль функції - значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

Якщо відомий графік функції (або функція задана графічно), то нуль функції — це абсциси того ж перетину графіка функції з віссю х. Для функції у = f(х), що задана графічно на малюнку 63 нулями є х = -3; х = -1 і х = 4.

Якщо функція задана формулою у = f(х), то її нулями є розв’язки рівняння f(х) = 0.

Приклад. Знайдіть нулі функції у = х² - 5х + 6.

Розв’язання. Маємо х² - 5х + 6 = 0 ; х₁ = 2; х₂ = 3 - нулі функції.

Проміжки зростання та спадання функції. Точки максимуму і точки мінімуму функції. Максимуми і мінімуми функції.

Функцію у = f(х) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

На малюнку 64 зображено графік функції у = f(x), що зростає на проміжку [а; b] (проміжок [а; b] при цьому називають проміжком зростання функції). Для будь-яких x₁ і х₂ з цього проміжку, таких , що х₂ > х₁ виконується нерівність f(x₂) > f(x₁).

Функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

На малюнку 65 зображено графік функції у = f(х), що спадає на проміжку [а; b] (проміжок [а; b] при цьому називають проміжком спадання функції).

Для будь-яких x₁ і х₂ з цього проміжку, таких, що х₂ > х₁, виконується нерівність f(х₂) < f(x₁).

Приклад 1. Для функції у = f(x), що задана графічно на малюнку 63 проміжки зростання: [-4; -2] і [1; 5], проміжки спадання: [-2; 1] і [5; 6].

Точку х₀ називають точкою максимуму функції у = f(x), якщо для вісі х з деякого околу точки х₀ виконується нерівність f(х₀) > f(x) . Значення функції в точці максимуму називають максимумом функції. На малюнку 64 х = b - точка максимуму функції, а на малюнку 65 х = а - точка мінімуму функції. Точку х₀ називають точкою мінімуму функції у = f(x), якщо для всіх х з деякого околу точки х₀ виконується нерівність f(х₀) < /(х). Значення функції в точці мінімуму називають мінімумом функції. На малюнку 64 х = а - точка мінімуму функції, а на малюнку 65 х = b - точка максимуму функції.

Приклад 2. Для функції у = f(x) (мал. 63), що задана графічно на проміжку [-4; 6]: х = 1 - точка мінімуму, це записують так х_min = 1; у_min = х(1) = -2 - мінімум функції. У функції дві точки максимуму х = -2 і х = 5. Це записують х_max = -2, х_max = 5, у_max = (-2) = 3, у_max = y(5) = 2 — максимум функції.

ОБЕРНЕНА ФУНКЦІЯ.

Функцію, що приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення називають оборотною.

Наприклад, функція у = 2х + 5 є оборотною. Функція f(х) = х² не є оборотною на множині R, оскільки, наприклад, значення 9 функція приймає в двох точках З і -3.

Нехай у = f(х), де f(х) - оборотна функція. Із рівності у = f(х) як із рівняння знайдемо (якщо це можливо) х: х = g(y). Цю функцію х = g(y) називають оберненою до функції f(х). Оскільки у шкільній математиці прийнято позначати аргумент через х, а функцію через у, то остаточно маємо у = g(x).

Приклад. Для функції f(х) = 2х + 5 знайти обернену.

Розв’язання. Маємо у = 2х + 5, виразимо х через у: 2x = y – 5, x = (y - 5)/2. Позначимо аргумент через х, а функцію - через у і остаточно отримаємо y= (x - 5)/2 або g(x)=(x -5)/2.

Приклад. Для функції f(х) = 2х + 5 знайти обернену.

ПАРНІСТЬ І НЕПАРНІСТЬ ФУНКЦІЇ.

Область визначення функції у = f(х) будемо називати симетричною відносно нуля, якщо разом із кожним числом х область визначення містить також і число ( -х). Серед функцій із областю визначення, симетричною відносно нуля, розрізняють парні і непарні.

Функцію у = f(x) називають парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення виконується рівність f( -х) = f(х).

Приклад 1. Дослідити на парність функцію f(x) = х⁴.

Розв’язання. D(f) = (-∞;+∞). Область визначення симетрична відносно нуля. Оскільки f(_x) = (-х)⁴ = х⁴ = f(х) , то функція парна.

Корисною може бути властивість парної функції: графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі у.

Функцію у = f(х) називають непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Приклад 2. Дослідити на парність функцію f(x) = 10/-x.

Розв’язання. Область визначення симетрична відносно нуля. Оскільки f(-x) = 10/-x = -f(x), то функція непарна.

Корисною є властивість непарної функції: графік будь-якої непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 3. Дослідити на парність функцію f(x) = 1/(x -2).

Розв’язання. Область визначення не симетрична відносно нуля, оскільки значення х = -2 належить області визначення, а значення х = 2 - не належить. Тому функція ні парна, ні не парна.

Приклад 4. Дослідити на парність функцію f(х) = х² - х.

Розв’язання. D(f) = (-∞;+∞). Область визначення симетрична відносно нуля. Обчисліть Обчисліть f(-х) ≠ f(х) і f(-х) ≠ -f(x) , то функція ні парна, ні не парна.