математика МПТУ

28.11.2022 група №14 алгебра і початки аналізу (повторення) 1

Тема уроку: Нерівності та системи нерівностей

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=K6R10YNTbZs

2. Законспектуйте і вивчіть

Система нерівностей з однією змінною

Якщо треба знати спільний розв’язок двох (або більшої кількості) нерівностей, то кажуть, що ці нерівності утворюють систему нерівностей.

Приклад. - система нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому правильною є кожна з нерівностей системи.

Число 3 є розв’язком системи нерівностей oскільки нерівності 2 ∙ 3 > 4 і 3 ∙ 3 ≤ 12 є правильними.

Число 5 не є розв’язком системи нерівностей оскільки нерівність 3 ∙ 5 ≤ 12 - неправильна.

Розв’язати систему означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Загальна схема розв’язування систем нерівностей.

Розв’язати систему нерівностей можна за наступним планом:

1) розв’язуємо кожну нерівність системи;

2) зображуємо множину розв’язків кожної нерівності на координатній прямій;

3) знаходимо переріз множини розв’язків нерівностей, який і буде множиною розв’язків системи.

Розв’язування систем лінійних нерівностей.

Приклад 1. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’язання.

Збираємо множини розв’язків нерівностей на координатній прямій (мал. 26). Множиною розв’язків системи є переріз множин розв’язків нерівностей, а саме проміжок (2;5]. Відповідь до системи можна записати і у вигляді подвійної нерівності 2 < х ≤ 5.

Зображуємо множини розв’язків нерівностей на координатній прямій (мал. 27). Ці множини не мають спільних елементів. Переріз цих множин є пустою множиною. Тому задана система немає розв’язків.

Приклад 2. Розв’яжіть систему нерівностей

Розв’язання. Маємо

Означення квадратної нерівності.

Нерівності виду

де х — змінна, а, b, с - будь-які числа, причому а ≠ 0 називають квадратними нерівностями (або нерівностями другого степеня з однією змінною) Приклади таких нерівностей:

Розв’язування квадратної нерівності.

Розв’язування квадратної нерівності доцільно проводити так:

1. Знаходимо корені квадратного тричлена ах² + bх + с (якщо вони існують);

2. Якщо знак нерівності > або <, то корені квадратного тричлена позначаємо на осі х «виколотими» точками (вони не будуть входити до множини розв’язків); якщо знак нерівності ≥ або ≤, то корені квадратного тричлена позначаємо точками, які будуть входити до множини розв’язків нерівності;

3. Схематично зобразимо графік функції у = ах² + bх + с, який є параболою, враховуючи напрям віток: при а > 0, вітки напрямлені вгору, а при а < 0 - вниз та точки її перетину з віссю х (якщо вони існують);

4. Знаходимо на осі х проміжки. На яких функція у = ах² + bх + с задовольняє дану нерівність;

5. Записуємо відповідь.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Рівняння х² - Зх - 4 = 0 має корені х₁ = -1 і х = 4. Оскільки знак нерівності ≥, зображуємо ці корені точками на осі х (вони входять до множини розв’язків). Схематично зображуємо графік функції у = х² - Зх - 4. Це парабола, вітки якої напрямлені вгору, що перетинає вісь х у точках -1 і 3 (мал. 29). Нерівність х² - Зх - 4 ≥ 0 виконується, якщо х ≤ -1 або х ≥ 4. Відповідь можна записати у вигляді об єднання проміжків

2) Рівняння -2х² - Зх + 5 = 0 має корені х₁ = -2,5 і х = 1. Оскільки знак нерівності <, зображуємо ці корені «виколотими» точками на осі х (вони не будуть входити до множини розв’язків). Схематично зображуємо графік функції у = -2х² - Зх + 5. Це парабола, вітки якої напрямлені вниз, що перетинає вісь х у точках х = -2,5 і х = 1 (мал. 30).

Нерівність -2х² - Зх + 5 > 0 виконується, якщо -2,5 < х < 1. Відповідь можна записати у вигляді проміжку ( -2,5;1).

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність х² - 4х + 4 > 0.

Розв’язання. х² - 4х + х = 0; х = 2. Оскільки знак нерівності >, то зображуємо точку 2 «виколотою» на осі х. Схематично зображуємо графік функції у = х² - 4х + 4 (мал. 31). Це парабола, вітки якої напрямлені вгору, що має з віссю абсцис одну спільну точку 2 (кажуть, що парабола дотинається до осі х). Функція набуває додатніх значень при будь-якому значенні х, крім 2. Множиною розв’язків нерівності є об’єднання проміжків

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Рівняння -х² + 2х - 5 = 0 коренів не має

Графіком функції у = -х² + 2х - 5 є парабола, вітки якої напрямлені вниз, і яка не перетинає вісь х (мал. 32). Оскільки всі точки параболи розміщені нижче осі х, то множиною розв’язків нерівності -х² + 2х – 5 < 0 є множина всіх дійсних чисел, тобто (-∞;+∞).

2) Міркуємо спочатку аналогічно попередній нерівності. Але оскільки жодна з точок параболи не розміщена вище осі х і не належить цій осі, то нерівність -х² + 2х - 5 ≥ 0 не має розв’язків.

Нерівність виду |f(х)| > а та |f (х)| ≥ а, а — число.

Розглянемо спочатку нерівність |х| > а. Якщо а < 0, то очевидно, що х - будь-яке число, оскільки |х| ≥ 0 для всіх значень х.

Якщо а ≥ 0, то позначимо на числовій прямій корені рівняння |х| = a тобто числа х₁ = -а; х₂ = а. Вони розбивають числову пряму на три інтервали (мал. 34). Легко перевірити, взявши по одній «пробній» точці у кожному інтервалі, що нерівність задовольняють такі значення х : х < -а або х > а.

Узагальнюючи маємо:

множиною розв’язків нерівності |f(x)| > а у випадку х < 0 є всі числа з ОДЗ функції f(x);

а у випадку а ≥ 0 ця нерівність рівносильна сукупності нерівностей

Аналогічно можна розв’язувати нерівність |f(х)| ≥ a.

Приклад. Розв’язати нерівність |х - 2| > 3.

Розв’язання. Нерівність рівносильна сукупності нерівностей

Далі маємо Отже,

Нерівності виду f (x) < а та |f(х)| ≤ а, а — число.

Спочатку розглянемо нерівність |x| < а. Якщо а < 0, то очевидно, що нерівність не має розв’язків, оскільки |х| ≥ 0 для всіх значень х.

Якщо а ≥ 0, то міркуючи аналогічно нерівності |х| > а (мал. 35), матимемо, що нерівність задовольняють такі значення x: -а < х < а.

Узагальнюючи маємо:

нерівність |f(x) | < а у випадку а < 0 немає розв’язків; а у випадку a ≥ 0 ця нерівність рівносильна подвійній нерівності -а < f(x) < а.

Аналогічно можна розв’язати нерівність |f(x)| ≤ а.

Приклад. Розв’язати нерівність |х + 3| ≤ 5.

Розв’язання: Маємо -5 ≤ x + 3 ≤ 5. Далі -5 – 3 ≤ х ≤ 5 - 3; -8 ≤ х ≤ 2.

Зауважимо, що у випадку коли f(x) не є лінійною функцією, від подвійної нерівності -а < f(x) < a (aбо –a ≤ (х) ≤ a) доцільно перейти до системи

Загальний підхід до розв’язання нерівностей, що містять знак модуля.

При розв’язані більш складних нерівностей, що містять знак модуля, можна застосувати той самий підхід, що й при розв’язуванні рівнянь, які містять кілька знаків модулів.

Оформляти розв’язування на кожному з утворених проміжків доцільно у вигляді системи нерівностей, одна з яких — умова, накладена на х, а інша нерівність — наслідок, яку отримали після розкриття модулів. Відповідно початковій нерівності є об’єднання відповідей, отриманих на кожному з розглянутих проміжків.

Приклад. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання: 1) ОДЗ: х R.

2) х + 1 = 0, коли х = -1; 2х - 4 = 0, коли х = 2. Отже, х₁= -1; х₂ = 2 - нулі підмодульних виразів (мал. 36).

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки

4) Якщо х (-∞;-1], тобто х ≤ -1, маємо Отже, на проміжку (-∞;-1] маємо систему

Якщо х (-1;2], тобто -1 < х ≤ 2, маємо Отже, на проміжку (-1;2] маємо систему

Якщо х (2;+∞), тобто х > 2, маємо Отже, на проміжку (2;+∞) маємо систему

5) Об’єднуючи відповіді, отримані на кожному з розглянутих проміжків, маємо Отже,

Зображуємо множини розв’язків нерівностей на координатній прямій (мал. 28). Множиною розв’язків системи є проміжок (-∞;-6]. Відповідь до системи можна записати і по-іншому: х ≤ -6.