22.11.2022  група   № 7  геометрія

Тема уроку:  Прямокутні координати в просторі. Самостійна робота.

1. Повторіть теоретичний матеріал

Визначення декартових координат у просторі

Декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей (вісь ОХ— вісь абсцис, ОУ — вісь ординат, OZ— вісь аплікат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.

Кожній точці простору за певним правилом ставиться у відповідність трійка чисел — абсциса, ордината та апліката (х; у, z), які називаються декартовими координатами точки. Ці координат визначаються в такий спосіб: через точку А проводимо три площини, паралельні координатним площинам YOZ;XOZ;XOУ. Із координатними осями ОХ, ОУ і OZплощини перетнуться в точках x_A,y_A, z_A. Число х, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка ОХA, називається абсцисою точки А. Це число буде додатним, якщо х належить додатній пів осі ОХ, і від’ємним, якщо лежить на від’ємній півосі.

Аналогічно визначаються ордината у та апліката z точки А.

Декартові координати в просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А (х; у; z). причому першою завжди стоїть абсциса, другою — ордината, третьою — апліката

Для точок площини ХОУ апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ — ордината у дорівнює нулю, для точок площини YOZ — абсциса х дорівнює нулю.

На рис. 1 точка А має координат 2; 3; 3, що записується так: А (2; 3; 3).

Будь-якій трійці чисел х, y, z відповідає лише одна точка простору А (х, у, z).

Рис. 1

Приклад 1. Задано точки A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(1; 0; 0), D(1; 0; 2). Які із цих точок лежать: 1) у площині XOZ: 2) на осі ОХ; 3) у площині УOZ?.

Розв'язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата y дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1; 0; 0), D (1; 0; 2).

2. Якщо точка лежить на осі ОХ. то координат у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка 0(1; 0; 0).

3. У площині УOZ лежить точка 5(0; 1; 2).

Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) 5.

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

Відстань між двома точками в просторі

d = .

де d — відстань (рис. 2) між точкою А₁, із координатами (х₁; у₁; z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂; у₂; z₂).

Рис. 2

Приклад 2. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С (3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника AВС.

Розв’язання

Оскільки АВ =  = , AC =  = , BC =  = .

то Р_∆АВС = АВ +ВС +АС = 3 .

Відповідь: 3 .

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини підрізка в просторі

Координати (х_С; у_С; z_С.) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

x_C = ; x_C = ; x_C = .

де (x₁; y₁; z₁) і (x₂; у₂; z₂) — координати точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка (рис. 3).

Приклад 3. Знайдіть координати точки С — середини відрізка АВ, якщо А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1).

Розв’язання

Оскільки А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1) і АС = СВ, то

x_C =  =  = -1; y_C =  =  = 2; z_C =  =  = 2;

Отже, С (-1; 2; 2).

Відповідь: С (-1; 2; 2).

2. Виконайте самостійну роботу в зошитах(відповіді пришліть в особисті ровідомлення на вайбер)

1. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, AB = 2, BC = 3, BB₁ = 5, B(0;0;0). Координати якої точки вказано неправильно?

A. A(2;0;5).

Б. C₁(0;3;5).

B. D(2;0;3).

Г. D₁(2;3;5).

2. Яка з наведених точок симетрична точці A(2;-3;5) відносно площини Oxy?

A. А₁(2;-3;-5).

Б. A₁(-2;-3;5).

B. A₁(-2;-3;5).

Г. A₁(2;3;-5).

3. Установіть відповідність між координатами кінців відрізка AB (1-3) і розміщенням середини цього відрізка в прямокутній системі координат (А-Г).

1	A(-1;-3;2), B(-1;3;-1)	А	Площина Oxz
2	A(2;-1;3), B(-2;-3;1)	Б	Вісь Ox
3	A(-3;2;-1), B(-2;-2;1)	В	Площина Oyz
		Г	Вісь Oz

4 (3 бали). Точка C лежить на осі Oy, рівновіддалена від точок A(2;1;3) і B(1;-1;2), і є серединою відрізка AD. Знайдіть координати точок C і D.

5 (4 бали). Обчисліть довжину діагоналі BD паралелограма ABCD, якщо A(1;-3;0), B(-2;4;1), C(-3;1;1).