08.11.2022   група  №2    факультатив

Тема уроку:  Вектори і координати в просторі

1. Передивіться відеоурок за  посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=E2LfZ0Irf8c

2. Повторіть теорію

Проведемо через точку О простору три попарно перпендикулярні прямі х, у, z (мал. 515). На кожній з прямих виберемо напрям, який позначимо стрілочкою та одиницю вимірювання. Таким чином задають прямокутну систему координат у просторі. Точку О називають початком координат, а прямі з вибраними напрямками осями координат (або координатними осями). Вісь х називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат, вісь z - віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі - додатну (яку позначають стрілочкою) і від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z, х і z називають координатними площинами ху, уz, хz.

В прямокутній системі координат у просторі кожній точці М простору ставиться у відповідність єдина впорядкована трійка чисел, а кожній впорядкованій трійці чисел - єдина точка простору. Цю трійку чисел називають координатами точки. Визначаються вони аналогічно координатам точки на площині.

Проведемо через точку М площину, перпендикулярну до осі х (мал. 516). Вона перетинає вісь х в точці М _x. Координатою х точки М (абсцисою точки М) називають число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка ОМ _x; додатне, якщо точка М_х лежить на додатній півосі х і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо ж точка М збігається з точкою О, то вважаємо, що абсциса точки М дорівнює О.

Проведемо площини, перпендикулярні осям у і z, які перетинають ці вісі в точках М _y і М _z відповідно. Аналогічно до координати х точки М визначаються координата у точки М (ординати точки М) і координата z точки М (апліката точки М).

Відстань між точками А(х₁; у ₁; z ₁) і В(х ₂; у ₂; z ₂) обчислюється за формулою

Приклад 1.

 Точки М(0; 3; 5) і N(2; 1; 4) відповідно середини сторін АВ i ВС трикутника АВС. Знайти довжину сторони АС цього трикутника.

Розв’язання. 1) Оскільки М - середина АВ, а N — середина ВС, то МN - середня лінія ∆АВС. Тому 

3) Тоді АС = 2 ∙ 3 = 6.

Приклад 2.

 Відстань між точками А(х; 3; 4) і B(1; 5; 1) дорівнює 7. 

Знайти х.

Розв’язання. 

2) За умовою АВ = 7, тому АВ² = 49. Отже, (1 - х)² +13 = 49, (1 - х)² = 36, 1 - х = 6 або 1 - х = -6.

Звідси х = -5 або х = 7.

Координати точки М(х_м; у_м; z _м), яка є серединою відрізка з кінцями А(х₁; у ₁; z ₁) і В(х ₂; у ₂; z ₂) знаходиться за формулами.

Приклад. 

АВСD - паралелограм; А(-3; 5; 7), В(2; -3; 1), С(0; 9; -6). Знайти координати вершини D паралелограма.

Розв’язання. 

1) Нехай точка О - точка перетину діагоналей АС і ВD.

Оскільки точка О ділить пополам кожну діагональ, то  i 

Аналогічно 

2) Маємо  Звідси отримаємо х _D = -5, у _D = 17, z_D = 0. Отже, координати точки

 D>(-5; 17; 0).