09.11.2022     група  №2    алгебра і початки аналізу   (повторення)

Тема уроку: Логарифмічні вирази

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=eMqHClbkveQ

2. Законспектуйте і вивчіть

Основна логарифмічна тотожність

Означення логарифма можна коротко записати так:

Ця рівність справедлива при b > 0, а > 0, а ≠ 1 і називається основною логарифмічною тотожністю. Наприклад: 

2^log25 = 5, 2^-log25 = (2^log25)^-1= 5^-1 = .

Основні властивості логарифмів

При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв’язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких доданих х і у виконуються такі рівності:

1) log_а 1 = 0;

2) log_а а = 1;

3) log_а ху = log_а х + log_а у;

4) log_а  = log_а х - log_а у;

5) log_a x^p = plog_а х (p ∈ R);

6) log_ap x = log_ax;

7) log_a x =  (b > 0, b ≠ 1).

Логарифм числа

Рівняння a^x = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0 (рис. 1), має єдиний корінь. Його називають логарифмом числа b з основою а і позначають log_ab).

Рис. 1

Наприклад: коренем рівняння 2^х = 8 є число 3, тобто log₂ 8 = 3.

Логарифмом додатного числа b за основою а, де а > 0, а ≠ 1, називають показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержат число b.

Наприклад: log₂8 = 3, оскільки 2³ = 8;

log₂  = -2, оскільки 2^-2 = :

log₇1 = 0, оскільки 7⁰ = 1.

Розглянемо приклади використання формул 3—7. Обчислимо:

1) log₆ 18 + log₆ 2 = log₆( 18 ∙ 2)= log₆36 = 2;

2) log₁₂ 48 - log₁₂ 4 = log₁₂ = log₁₂12 = 1;

3) log₃ = log₃ = log₃3 =  ∙ 1 = ;

4) log₁₂₅5 =  5 =  log₃5 =  ∙ 1 = ;

5)  = log₄16 = log₄4² = 2log₄4 = 2 ∙ 1 = 2.

Формулу 7 називають формулою переходу до логарифмів з іншою основою.

За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довільною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш уживаними є таблиці десяткових і натуральних логарифмів.

Десятковими логарифмами називають логарифми за основою 10, позначають lg.

Наприклад: lg100 = 2, lg 0,0001 = -4.

Натуральними логарифмами називають логарифми за основою е (число е — ірраціональне, е ≈ 2,718...), позначають In.

Наприклад: ln е = 1, ln е² = 2, ln = -1.

Дію знаходження логарифма числа (виразу) називають логарифмуванням.

Приклад 1. Прологарифмувати вираз у = .

Рoзв'язання

lgy = lg = lg(a²b²) — lgc³ = lga² + lgb² — lgc³ = 2lga + 2lgb — 3lgc.

Дію, обернену до логарифмування, називають потенціюванням. Потенціювання —знаходження числа (виразу) за його логарифмом.

Приклад 2. Пропотенціювати вираз lgx = lg⁵a - 31gb + 41gc.

Розв’язання

lgx = lg5a — 3lgb + 4lgc; lgx = lg — lgc⁴; lgx = lg — lgb³ + lgc⁴;

lgx = lg( ∙ c⁴) — lgb³; lgx = lg ; x = .

Логарифмічна функція y = log_a х, a > 0, a ≠ 1

Функцію виду у = log_ax, де а > 0, а ≠ 1, називають логарифмічною. Основні властивості логарифмічної функції

1. Область визначення — (0;+∞).

2. Область значень — множина всіх дійсних чисел R.

3. Якщо х = 1, то у = 0.

4. Функція у = log_ax не є ні парною, ні непарною.

7. Якщо а > 1, функція у = log_a х зростає, а при 0 < а < 1 — спадає.

8. Якщо а > 1 і х > 1, то у = log_a x > 0. Якщо а > 1 і 0 < х < 1,то у = logа х < 0. Якщо 0 < а < 1 і х > 1, то у = log_a х < 0. Якщо 0 < а < 1 і 0 < х < 1, то у = log_a x > 0.

9. Графік функції у = logа х зображено на рис. 2.

Рис. 2

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = log_а(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати f(x) > 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x² -5x + 6), то x² - 5X + 6 > 0, тобто D(y) = (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log _f(x) b, b > 0, то слід вважати  (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = log_x-110, то  тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

3. Виконайте тест

Запитання 1

Обчислити значення: log121

варіанти відповідей

 

1

 

 

12

 

 

0

 

 

2

Запитання 2

Обчислити значення: log66

варіанти відповідей

 

1

 

 

6

 

 

36

 

 

2

Запитання 3

Обчислити значення: log28

варіанти відповідей

 

1

 

 

3

 

 

4

 

 

16

Запитання 4

Обчислити значення: lg100

варіанти відповідей

 

10

 

 

2

 

 

100

 

 

1

Запитання 5

Обчислити значення: log1/44

варіанти відповідей

 

4

 

 

2

 

 

−1

 

 

1

Запитання 6

Обчислити значення: log93

варіанти відповідей

 

3

 

 

2

 

 

−2

 

 

1/2

Запитання 7

Обчислити значення: log245

варіанти відповідей

 

5

 

 

25

 

 

10

 

 

32

Запитання 8

Обчислити значення: log153+log155

варіанти відповідей

 

8

 

 

15

 

 

1

 

 

log158

Запитання 9

Обчислити значення: log20100−log205

варіанти відповідей

 

20

 

 

log20105

 

 

1

 

 

log2095

Запитання 10

Знайти log2(4α), якщо log2α=5.

варіанти відповідей

 

7

 

 

6

 

 

9

 

 

8

Запитання 11

Знайти log3(b/3), якщо log3b=6.

варіанти відповідей

 

2

 

 

3

 

 

5

 

 

9

Запитання 12

Обчислити значення: log125(1/5)

варіанти відповідей

 

3

 

 

1/3

 

 

25

 

 

−1/3