08.11.2022  група  №7  геометрія   

Тема уроку: Вимірювання відстаней від прямої до площини

1. Передивіться відеоурок та виконайте в зошитах завдання, які в ньому прпонуються

https://www.youtube.com/watch?v=XXidMyYIz-o

2. Законспектуйте і вивчіть

                          Відстань від точки до прямої.

Відстанню від точки до прямої називають довжину перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

На малюнку 428 довжина відрізка АВ - відстань від точки А до прямої а.

Приклад. Пряма АМ перпендикулярна до площини рівностороннього трикутника АВС. Знайти відстань від точки М до прямої ВС, якщо АМ = 4 см, АВ = 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай точка К - середина ВС (мал. 429). Тоді АК - медіана і висота рівностороннього трикутника АВС.

2) За теоремою про три перпендикуляри МК  ВС. Тому МК - шукана відстань.

                            Відстань від точки до площини.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

На малюнку 430 АВ  α; довжина відрізка АВ - відстань від точки А до площини α.

Приклад. У прямокутнику ABCD зі сторонами АВ = 6 см, ВС = 8 см діагоналі перетинаються в точці О, ОК - перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Знайти відстань від точки К до площини прямокутника, якщо АК = 13 см.

Розв’язання (мал. 431).

                            Відстань від прямої до площини

Якщо пряма належить площині або перетинає площину, то природно вважати, що відстань від прямої до площини дорівнює нулю.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини.

На малюнку 432: а || α, А  а, АВ  α. Довжина відрізка АВ - відстань від прямої а до площини α.

Приклад. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб (мал. 433), ребро якого дорівнює 2 см.

Знайти відстань від прямої ВС до площини АВ₁С₁.

Розв’язання. 

1) Оскільки ВС || В ₁С ₁, то пряма ВС паралельна площині АВ₁С₁.

2) СD ₁  С ₁D, точка О - точка перетину діагоналей бічної грані СD ₁ і С ₁D.

3) СО  АВ₁С₁; СО - шукана відстань.

Відстань між мимобіжними прямими.

Відстанню між мимобіжними прямими називають довжину їх спільного перпендикуляра.

Можна довести, що такий спільний перпендикуляр існує, і до того ж тільки один.

Приклад 1. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб з ребром 2 см (мал. 433). Знайти відстань між мимобіжними прямими А ₁D ₁ і DС.

Розв’язання. DD ₁ - спільний перпендикуляр для прямих А ₁D ₁ і DС. Отже, шукана відстань - це довжина відрізка DD ₁, яка дорівнює 2 см.

Для знаходження відстані між мимобіжними прямими корисним може бути наступний факт.

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної їй площини, що проходить через другу пряму.

Приклад 2. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб з ребром 1 дм (мал. 430). Знайти відстань між мимобіжними прямими АВ ₁ і D ₁С.

Розв’язання. 1) АВ₁ || DС₁, DС₁ DD ₁C ₁, тому за ознакою паралельності прямої і площини АВ₁ || DD ₁C ₁.

2) ВА  АD і ВА - проекція В ₁А на площину АВС. Тому за теоремою про три перпендикуляри АB ₁  АD.

3) Оскільки АD  DD ₁ і АD  DС, то за ознакою перпендикулярності прямої і площини АD  DD ₁С₁.

4) Отже, АD - відстань від прямої АВ, до паралельної їй площини DD ₁С₁, що проходить через пряму D ₁С. Тому АD - є також відстанню між мимобіжними прямими АВ ₁ і D ₁С. Ця відстань дорівнює 1 дм.

3. Виконати тести

Запитання 1

Скільки можна провести прямих, одночасно перпендикулярних до двох мимобіжних прямих?

варіанти відповідей

 

одну

 

 

дві

 

 

жодної

 

 

безліч

Запитання 2

Якщо точка М простору рівновіддалена від вершин прямокутника, то основою перпендикуляра, опущеного з точки М на площину прямокутника, є 

варіанти відповідей

 

Вершина прямокутника

 

 

Центр кола, описаного навколо прямокутника

 

 

Довільна точка площини

Запитання 3

Якщо точка Р простору рівновіддалена від сторін трикутника, то основою перпендикуляра, проведеного з точки Р до площини трикутника, є …

варіанти відповідей

 

Центр кола, вписаного в трикутник

 

 

Центр кола, описаного навколо трикутника

 

 

Середина сторони трикутника

Запитання 4

Відстань від точки  О  до площини  SBC  дорівнює

варіанти відповідей

 

ОК

 

 

ОS

 

 

SК

 

 

АО

Запитання 5

Якщо всі точки однієї площини лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від другої площини, то ці площини

варіанти відповідей

 

перпендикулярні

 

 

паралельні

 

 

мимобіжні

 

 

перетинаються

Запитання 6

Відстань між прямою і паралельною їй площиною дорівнює

варіанти відповідей

 

довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки прямої до даної площини.

 

 

довжині похилої, проведеної з довільної точки прямої до даної площини.

 

 

довжині даної прямої

 

 

довжині відрізка, проведеного з довільної точки прямої до даної площини.

Запитання 7

Якщо всі точки прямої лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від площини, то пряма і площина -

варіанти відповідей

 

перпендикулярні

 

 

паралельні

 

 

мимобіжні

 

 

перетинаються

Запитання 8

Відстань від точки  А  до прямої ВS дорівнює довжині

варіанти відповідей

 

АК

 

 

АМ

 

 

AD

 

 

AP

Запитання 9

Відстанню між фігурами називають

варіанти відповідей

 

довжину найдовшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур

 

 

довжину одного з відрізків, який сполучає точки даних фігур

 

 

довжину най­коротшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур.

 

 

довжину периметра даних фігур

Запитання 10

З центра О квадрата ABCD (рис. 501) проведено перпендикуляр OS до пло- щини квадрата. Точка М — середина СВ,Р — основа висоти трикутника OMS, ОК —його медіана. Довжині якого відрізка дорівнює відстань від точки O до площини BCS

варіанти відповідей

 

ОК

 

 

ОР

 

 

ОS

 

 

SМ

Запитання 11

Умова завдання:

варіанти відповідей

 

49

 

 

25

 

 

625

 

 

31

Запитання 12

На якому зображенні є вірний малюнок до умови задачі:

Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D 

варіанти відповідей